amaliAnjani's Blog

Fraktal – Sebuah Keajaiban Matematika

Posted on: December 23, 2010

Tiba-tiba teringat perkataan guru matematika jaman smp dulu. Beliau berkata “matematika ada di sekitar kita”. Semua orang pasti setuju dengan perkataan beliau. Tapi bagi saya yang saat itu anti matematika, menyangkal mati-matian. Matematika hanya menghitung. Dan tidak semua hal itu dapat dihitung. Setelah menjalani hidup lebih lama, saya mulai menyadari matematika bukanlah sesuatu yang identik dengan hitung-hitungan di atas kertas. Matematika menganalisa dan membantu kita untuk menjelaskan semua kejadian di sekitar kita. Bahkan matematika adalah dasar dari segala ilmu yang selama ini kita pelajari.

Saat mencari bahan untuk tugas pemrograman fraktal, saya baru menyadari lagi bahwa matematika dapat menjelaskan, menghitung dan menganalisa sesuatu yang yang tampaknya abstrak. Lalu apa itu fraktal, yang mampu membuka mata si anti matematika ini. Menurut wikipedia (saya tau ini sumber yang tidak seharusnya dibuat sebagai rujukan, tapi apa boleh buat om wiki jauh lebih pintar dari saya), “fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat “dibagi-bagi” dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya.”

Selama ini kita telah mempelajari bangun segitiga, lingkaran, elips, dsb. Oleh para ahli, bangun-bangun tersebut digolongkan sebagai bentuk euclidian. Saat kita melihat bola dari jauh, lalu kita melihatnya dari jarak dekat bola tersebut tidak berubah bentuk, ya tetap berbentuk bola. Lalu saat kita melihat gunung dari kejauhan bagaimana bentuknya ? untuk menyederhanakannya kita asumsikan gunung berbentuk segitiga seperti asumsi saat kita masih kecil. Lalu saat kita mendekati gunung tersebut, gunung tersebut tidak berbentuk segitiga.  begitupula dengan awan. Bentuk awan tidaklah lonjong seperti asumsi kita selama ini. Begitupula dengan pohon, laut, lereng, dan apapun benda di sekitar kita. Perhatikanlah, semuanya dalam kadar tertentu mempunyai sifat kemiripan terhadap diri, pengulangan bentuk, dan penskalaan. Menurut para ahli bentuk-bentuk inilah termasuk golongan fraktal.

Masih bingung dengan fraktal?

Pernah mengamati motif batik? Kalau pernah, anda pasti sadar kalau pola dari motif tersebut diulang-ulang. Batik juga merupakan fraktal. Sehingga dapat dikatakan sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif. Selain batik, ada banyak fraktal yang ada di sekitar kita. Baik yang alami ataupun yang buatan. Sebagai contoh, daun pakis juga merupakan fraktal alami. Contoh lainnya adalah efek dari musik yang biasanya ditampilkan di software pemutar musik. Itu juga merupakan fraktal buatan. contoh-contoh lainnya dapat kita lihat di situs http://id.wikipedia.org/wiki/Fraktal.

Lalu bagaimana cara merepresentasikan fraktal?

Bangun Euclidian dapat dijelaskan dengan persamaan-persamaan. Metode ini cukup untuk menjelaskan objek-objek dengan permukaan halus dan bentuk yang reguler. Lalu bagaimana dengan bentuk-bentuk fraktal misalnya gunung dan pohon serta bentuk-bentuk yang tak beraturan? Objek natural dapat secara realistis dimodelkan menggunakan metode geometri-Fraktal. Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal.  Dalam memodelkan objek, metode ini lebih menggunakan prosedur ketimbang persamaan.  Namun basis dari fraktal tetap persamaan, hanya saja persamaan ini dijalankan dalam suatu iterasi atau suatu rekursi (prosedur).

Misalnya adalah segitiga sierpinki. Sebuah segitiga yang akan membagi dirinya sendiri dengan bentuk-bentuk yang sama dengan skala yang terus berubah. Hal tersebut terus berulang hingga tidak ada lagi segitiga yang dapat dibagi.

Gambar 1. Segitiga Sierpinski

Secara konseptual, untuk membuat  segitiga sierpinski, proses yang dilakukan adalah menentukan titik tengah pada masing-masing garis segitiga-segitiga semula kemudian hubungkan garis antara titik-titik tengah tersebut sehingga membentuk tiga segitiga baru.

Gambar 2. Perulangan pada Fraktal Segitiga Sierpinski

Hal ini terus berulang. maka jika dihitung dari awal pembuatan segitiga akan terbentuk deret aritmatika 1, 3, 9, 27, 81,… maka n = 3^n.

Aplikasi fractal di kehidupan nyata?

Seperti dijelaskan sebelumnya, fractal dapat digunakan untuk membentuk pola atau motif batik. Selain itu, para ahli menggunakan bangun fraktal untuk menganalisis berbagai anatomi bangun di alam. Mulai dari gunung, sesar, garis pantai, sayuran, pohon bahkan DNA sekalipun.  Dan seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, benda-benda ini mempunyai sifat kemiripan terhadap diri, pengulangan bentuk, dan penskalaan.

Karena gambarnya yang indah dan menakjubkan bangun fraktal juga banyak digunakan untuk animasi dan game. Bahkan pada tahun 1994 Nathan Cohen, mempublikasikan penemuannya berupa antena radio fraktal. Antena ini mempunyai daya tangkap yang sangat bagus untuk multiband maupun broadband (lihat http://www.fractenna.com). Lalu lihatlah pola pergerakan harga saham, pergerakan nilai mata uang. Bahkan di situs http://www.pricepatternprediction. com kita dapat memperoleh prediksi perilaku pasar di berbagai bursa efek dunia untuk waktu yang akan datang. Prediksi ini dibuat dengan menggunakan pendekatan pola fraktal.

Jadi fraktal yang dipelajari dalam matematika memiliki manfaat yang besar bagi kemajuan teknologi. Mungkin pada dasarnya pendidikan matematika pada jenjang sekolah kita hanya berjalan berjalan di tempat. Siswa-siswa di sekolah hanya dicekoki dengan rumus dan hitungan yang membuat siswa-siswa tersebut salah paham akan guna sesungguhnya dari matematika. Seharusnya para guru matematika menunjukkan bentuk nyata implementasi matematika yang dikenal oleh para siswanya. Sehingga minat mereka termasuk saya meningkat dan menumbuhkan rasa ingin tau. Dan akhirnya  matematika tidak dianggap sebagai momok yang menambah daftar penderitaan.

Berikut code java untuk fraktal Segitiga Sierpinski

Daftar pustaka :

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: